Poliedros - Esfera

LA ESFERA

Una esfera es un sólido cerrado delimitado por una superficie en la que todos los puntos se encuentran equidistantes de un punto central llamado centro.

Para calcular la superficie de los poliedros, hacemos su desarrollo plano y a partir de él, obtenemos la superficie; pero con la esfera tenemos un problema, ya que no posee un desarrollo en plano exacto. 

Arquímedes fue quien inventó el método para determinar el volumen y el área de un objeto con una forma irregular.

Cuando Vitruvio ,Hierón II ordenó la fabricación de una nueva corona con forma de corona triunfal, le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha sólo de oro o si, por el contrario, le había agregado plata en su realización. Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla para convertirla en un cuerpo regular. Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la bañera cuando él entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría ser usado para determinar el volumen de la corona.

El agua al no poder ser comprimida, la corona, al ser sumergida, desplazaría la misma cantidad de agua que su propio volumen. Al dividir el peso de la corona por el volumen de agua desplazada se podría obtener la densidad de la corona. Si la densidad de la corona era menor que la densidad del oro sería que otros metales menos densos le hubieran sido añadidos. 

Arquímedes demostró que el área de una esfera es igual al área lateral de un cilindro que tenga el mismo radio y cuya altura sea el diámetro de la esfera. 

La imagen muestra una esfera envuelta por un cilindro que se ajusta por completo a ella, un cilindro de radio R y altura 2R. 

Tenemos entonces que el área de la esfera es igual al área lateral de ese cilindro:

A _Esfera = A _{Lateral del cilindro} = 2R x 2R = 4R²

Ahora vamos a imaginarnos que llenamos el espacio que no está ocupado en el cilindro con agua.

Si sacamos la esfera y nos fijamos en la cantidad de agua que hay, veremos que sólo ocupa la tercera parte del cilindro.

Tenemos entonces que la esfera sólo ocupa las dos terceras partes del volumen del cilindro que la contiene:

V _Esfera = 2/3 V _Cilindro = 2/3 x R² x 2R = 4/3 R³

Esta fórmula fue descubierta por Arquímedes, quien demostró esto.
Tanto le impresionó esto a él mismo que mandó colocar en su tumba una esfera inscrita dentro de un cilindro.